“La gran teoría unificada de las matemáticas” (Edward Frenkel)
“Una visión profunda y de gran alcance de las matemáticas” (Kenneth Ribet)
“Un programa para la investigación del futuro” (Stephen Gelbart)
El Programa de Langlands
Robert Langlands es actualmente profesor emérito de matemáticas del Instituto de Estudio Avanzados de Princeton. Ocupa el mismo despacho que utilizó Einstein.
El denominado “programa de Laglands” nació en Enero de 1967, cuando Langlands, con solo 30 años, envió una carta escrita a mano de 17 páginas a André Weil en la que le pedía su opinión sobre algunas nuevas ideas matemáticas, ideas que eran básicamente conjeturas que relacionaban campos matemáticos diferentes. André Weil fue un matemático francés una de las grandes figuras de las matemáticas del siglo XX y uno de los miembros fundadores del grupo Bourbaki que hizo notables contribuciones a la teoría de números y a la geometría algebraica.
La carta a Weil decía lo siguiente:
Profesor Weil: Como respuesta a su invitación para dar una charla, le adjunto la siguiente carta. Tras escribirla me he dado cuenta de que difícilmente contiene una sola afirmación de la que esté seguro. Si la lee como pura especulación le estaré agradecido; si no es así, estoy seguro de que encontrará una papelera a mano. Suyo, sinceramente, R. Langlans.
Bill Casselman –un colaborador de Langlands− afirma que la carta contenía “... una colección de conjeturas precisas de gran alcance y extraordinarias relativas a teoría de números, formas automórficas y teoría de la representación. Estas han formado el núcleo de un programa que todavía se está llevando a cabo y que tiene que jugar un papel central en los tres temas”.
Weil consiguió una versión mecanografiada de la carta, y esta versión circuló ampliamente entre los matemáticos interesados en los temas tratados en la carta. Aunque Weil nunca le respondió, la carta de Langlands se convirtió en una especie de Carta Magna –denominada “Conjeturas de Langlands− que conducía a una nueva área de investigación matemática que trataba de interrelacionar todos los campos de la matemática.
El programa (o filosofía) de Langlands es un conjunto de conjeturas orientadas a lograr una teoría unificada que relacione todas las ramas de las matemáticas: teoría de números, teoría de la representación, geometría, álgebra, análisis, etc. En matemática, una conjetura es una afirmación que se intuye que es cierta pero aún no se ha demostrado formalmente. Una vez que se encuentra una demostración, la conjetura se convierte en teorema.
Esta filosofía ya fue aplicada en la geometría analítica, una disciplina creada o descubierta por Descartes que relaciona álgebra y geometría. Por ejemplo, un círculo y una recta tienen ecuaciones algebraicas y sus puntos de intersección corresponden a las soluciones de ambas ecuaciones, que pueden tener 0, 1 o 2 soluciones.
El programa de Langlands es considerado por muchos autores como “la gran teoría unificada de la matemática” que permitirá relacionar toda la matemática.
El programa de Langlands es actualmente un campo de gran actividad, que se centra principalmente en teoría de números, análisis armónico, geometría, teoría de la representación y física matemática. Ha permitido obtener medallas Fields a varios matemáticos. La medalla Fields es el máximo galardón en matemática, que concede cada 4 años la Unión Matemática Internacional, y que es considerado el equivalente al Premio Nobel.
Las raíces del programa de Langlands
El programa de Langlands tiene sus raíces en la teoría de la simetría, cuyos fundamentos fueron establecidos por Évariste Galois con su noción de la estructura matemática de grupo. Hay muchos tipos de grupos, pero los que utiliza Langlands son precisamente los grupos de Galois, los grupos que relacionan las soluciones de las ecuaciones polinómicas.
El programa de Langlands se centró inicialmente en relacionar la teoría de la representación de los grupos de Galois con un campo matemático llamado análisis armónico. La correspondencia entre estos dos campos permitiría trasladar un concepto, tema o problema de un campo al otro. Estas dos áreas, que aparentemente eran totalmente diferentes, se convirtieron en áreas estrechamente relacionadas.
La unión de estas dos ramas de la matemática surgió en parte de los esfuerzos realizados para encontrar los patrones de descomposición de los números naturales como suma de productos de otros números enteros. Por ejemplo: 13 = 3•3 + 2•2 = 3•4 + 1 = 2•5 + 3.
La teoría de la representación es una rama de la matemática que representa las estructuras algebraicas mediante transformaciones en un espacio vectorial. El espacio vectorial se denomina “espacio de representación” y puede definirse mediante números naturales, reales, números complejos, números p-ádicos, etc. Los números p-ádicos son números escritos utilizando como base un número primo, por ejemplo, el número 35 es 100011 en base 2.
Las representaciones de los grupos de Galois son como el “código fuente” del campo numérico que transporta toda la información esencial sobre los números.
El análisis armónico estudia los armónicos, que son ondas cuyas frecuencias son múltiplos de una frecuencia fundamental. Una onda de sonido es una superposición de armónicos. Matemáticamente esto significa que una función se puede expresar como la superposición de funciones que describen armónicos, como las familiares funciones seno y coseno.
Langlands conjeturó que cuestiones difíciles de la teoría de números podrían resolverse de manera más sencilla utilizando métodos del análisis armónico y, más específicamente, con las funciones automórficas. Según Langlands, las funciones automórficas nos permiten descubrir la “armonía oculta” existente en el aparente caos de los números, en forma de patrones llenos de simetría y armonía.
Las funciones automórficas (o automorfas) fueron descubiertas por Henri Poincaré −matemático universalista y filósofo de la ciencia−, que las denominó “fuchsianas” (por el matemático Lazarus Fuchs). Una función automorfica es una función compleja f(z) de variable compleja z que es invariante bajo un grupo numerable de transformaciones algebraicas del tipo z' = (az + b)/(cz + d), también llamadas transformaciones de Moebius.
Las funciones automórficas son una generalización de las funciones trigonométricas y las funciones elípticas o una generalización de las funciones periódicas del espacio euclideo en el espacio topológico. Una función elíptica es una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones, que tienen su origen en el cálculo de la longitud de un arco de elipse.
Un caso especial de las funciones automórficas son las formas modulares, entidades matemáticas de muy alto nivel de abstracción. Las formas modulares son funciones analíticas en el plano complejo. Una forma modular es un objeto simétrico que permanece inalterado frente a ciertas transformaciones particulares. Está definida por dos ejes de simetría, donde cada eje posee una parte real y otra imaginaria. Las formas modulares habitan en un espacio cuadrimensional llamado “espacio hiperbólico”. Las formas modulares aparecen en muchas áreas, como topología algebraica y teoría de cuerdas.
El programa de Langlands ha “colonizado” a la teoría tradicional de las funciones automórficas. Muchos temas dispersos de esta teoría han sido “explicados” a posteriori en términos de la teoría de números. También ha invadido a la teoría de números, de tal manera que todo estudio de la teoría de números siempre “tropieza” con el programa de Langlands.
Las conjeturas del programa de Langlands
Las conjeturas más destacadas del programa de Langlands son:
La conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, que relaciona dos tipos de objetos matemáticos aparentemente distintos: curvas elípticas y formas modulares. La conjetura es: “A toda curva elíptica con coeficientes racionales le corresponde una forma modular”. Esto se suele simplificar diciendo que “Todas las curvas elípticas son modulares”. Más concretamente: a toda curva elíptica en geometría euclídea le corresponde una forma modular en geometría hiperbólica.
El nombre de “curva elíptica” no tiene nada que ver con las elipses. Ni tampoco tiene que ver con las funciones elípticas, que son funciones que se desarrollaron para estudiar el perímetro de una elipse.
La conjetura fue finalmente demostrada en 2001. Hoy esta conjetura se denomina “teorema de modularidad”. En 1986, Kenneth Ribet demostró que el último teorema de Fermat es una consecuencia de la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Esta conjetura la utilizó Andrew Wiles como fundamento para la demostración del último teorema de Fermat. Este teorema afirma que no existen tres números enteros x, y, z tales que xn+yn = zn para n>2.
La unión de dos ramas de las matemáticas aparentemente diferentes: las representaciones de grupos de Galois y las formas automórficas. Este fue el origen del programa de Langlands.
El programa de Langlands se ha extendido a los grupos continuos o grupos de Lie (los grupos de Galois son discretos). Son los llamados “grupos duales de Langlands”. Se trata de grupos de Lie que son duales entre sí, siendo uno de ellos la representación del otro.
La conjetura de que todas las funciones zeta de Riemann que surgen en teoría de números son casos particulares de las funciones L, que son un tipo de funciones automórficas. Dicho de otra forma, las funciones L son una generalización de la función zeta de Riemann, o que la función zeta de Riemann es el ejemplo más representativo de las funciones L.
La conjetura de que existen relaciones entre el análisis armónico y las superficies de Riemann.
Una superficie de Riemann −también conocida como “curva compleja”− es una variedad diferenciable (manifold) compleja de una variable compleja que permite medir distancias y ángulos, y que es una estructura conforme: una correspondencia del plano complejo sobre sí mismo que preserva los ángulos. Por ejemplo, el mapa Mercator es un mapa conforme de la superficie de la Tierra.
Una variedad es un objeto geométrico que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad). Una variedad es un espacio topológico que se comporta localmente (intrínsecamente) como un espacio euclidiano. Cada variedad tiene una dimensión, que es el número de coordenadas (o parámetros) que se necesitan en el sistema de coordenadas locales. Por ejemplo, una esfera 3D (3-esfera) es una variedad de dimensión 2 (2-variedad). Una variedad de Riemann de dimensión 4 fue la que utilizó Einstein para modelar el espacio-tiempo en la teoría de la relatividad.
Un ejemplo simple de superficie de Riemann es una esfera. Otros ejemplos son superficies cerradas con n agujeros (n>0). El número de agujeros de una superficie cerrada se denomina “género” de esa superficie.
En las superficies de Riemann también hay estructuras de grupos: los llamados “grupos fundamentales”, que son grupos continuos (grupos de Lie). El concepto de grupo fundamental de una superficie de Riemann es uno de los conceptos más importantes en topología. Es un conjunto de caminos cerrados (o curvas cerradas) sobre la superficie de Riemann que comienzan y terminan en el mismo punto. La operación definida sobre dos caminos cerrados es la “suma de caminos” que consiste en recorrer el primer camino n veces y luego recorrer el segundo camino m veces. Se obtiene así un nuevo camino que también comienza y termina en el mismo punto.
Hay una analogía profunda entre los grupos de Galois y los grupos fundamentales de la superficie de Riemann. Pero en este caso hay que sustituir las funciones automórficas por otros objetos matemáticos más sofisticados llamados “haces” (sheafs). Esto es lo que se denomina “programa de Langlands geométrico” y fue propuesto por Vladimir Drinfeld en los 1980s, que ganó la medalla Fields en 1990.
La visión analógica de la matemática de André Weil
André Weil, cuando estaba en prisión por no obedecer a sus “obligaciones militares”, escribió el 26 de Marzo de 1940 una carta de 14 páginas a su hermana menor Simone, una famosa filósofa, humanista y activista. En su carta explicaba en términos excesivamente técnicos (que su hermana no podía entender) el importante papel que debía desempeñar la analogía en matemática, especialmente entre teoría de números, teoría de funciones y geometría.
Weil hablaba en la carta de “la piedra Rosetta” de la matemática constituida por tres campos que intentaba relacionar:
Teoría de números.
Curvas sobre campos finitos.
Un campo finito (finite field) es un conjunto finito de números {0, 1, 2,…, p}, siendo p un número primo con las operaciones de suma y producto módulo p.
Superficies de Riemann.
Precisamente el programa original de Langlands se desarrolló en los dos primeros campos. Weil intuyó que había un tercer campo (la geometría), tema que −como hemos comentado− fue desarrollado posteriormente por Vladimir Drinfeld.
Weil se dio cuenta de que una ecuación algebraica, dependiendo del dominio que se considere, da lugar a un conjunto de puntos, una curva o una superficie. Pero en todos los casos la expresión es la misma. Entonces un resultado en uno de los campos se puede trasladar a los otros dos. Weil hablaba de establecer “puentes” como resultado de las analogías entre los campos. En la carta, Weil decía: “Mi trabajo es descifrar un texto trilingüe de la que solo tengo fragmentos dispersos”.
MENTAL vs. Programa de Langlands
El programa de Langlands presenta muchas limitaciones:
Pretende relacionar casi todos los campos de la matemática, pero en principio su red actual de conjeturas contemplan solo algunos campos: la teoría de números, el análisis armónico, las representaciones de grupos y la geometría algebraica compleja.
No es realmente una teoría unificada basada en principios universales. La estrategia de Langlands es de tipo horizontal, tendiendo puentes entre diferentes campos, en lugar de buscar una fundamentación común desde lo profundo que den origen (de forma vertical) a toda la matemática. No hay lo que podemos denominar “conjeturas universales” que relacionen todos los campos. Además hay que “adaptar” las conjeturas a cada uno de los campos.
Se basa en un conjunto de conjeturas para intentar unir campos matemáticos, conjeturas que pueden ser ciertas o no. Es también son un conjunto de métodos ad hoc para resolver cuestiones particulares.
Algunas conjeturas son ambiguas o dependen de objetos cuya existencia no se ha demostrado.
Las conjeturas han ido evolucionando desde que se establecieron en 1967.
Las demostraciones de las conjeturas son muy complejas. Algunos matemáticos piensan que se necesitarían siglos para completar el programa. Por ejemplo, la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil llevó muchos años el demostrarla. Y hay, en teoría, muchas conjeturas similares en dificultad.
El campo de las funciones automórficas es de una gran complejidad y desde la complejidad es muy difícil unificar. La unificación solo puede hacerse desde la simplicidad.
Las conjeturas son excesivamente técnicas, poco conceptuales, muy alejadas de lo que se denomina “matemática humanista”.
No aporta un lenguaje matemático, que es la clave para la unificación de la matemática.
Es solo una teoría. No contempla la práctica.
En cambio, con MENTAL:
Todo nace ya unificado, pues todo son manifestaciones de los arquetipos primarios, en un proceso de causalidad descendente, desde los grandes principios, los principios universales a las verdades y expresiones particulares. Todos los campos de la matemática están relacionados desde el nivel profundo y fundamental. Se diluyen así las fronteras entre los diferentes campos de la matemática.
Es más difícil relacionar campos a nivel horizontal que a nivel vertical descendente (de lo genérico a lo específico).
No hace falta “trasladar” un resultado de un campo matemático a otro. Lo que hay que hacer es cambiar la interpretación de las expresiones a nivel superficial porque a nivel profundo la semántica es única (primaria). Con un lenguaje universal es más fácil ver las conexiones entre los diferentes campos, al utilizar los mismos conceptos primarios o fundamentales.
Aporta una teoría de modelos universal que conduce al establecimiento de leyes universales. La teoría de modelos nació con los sistemas axiomáticos, pero con MENTAL se universaliza: toda expresión admite interpretaciones.
Es un lenguaje formal universal que integra teoría y práctica.
Es una nueva forma de pensar, más universal, humanista, natural y simple, más allá del virtuosismo técnico. Los enfoques sencillos constituyen el único camino hacia la unificación y la conciencia de la totalidad.
Es la abstracción conceptual suprema. De hecho, trasciende a la propia matemática. La matemática es una manifestación de MENTAL, como también lo es de las otras ciencias formales (informática, inteligencia artificial, lingüística, etc.). MENTAL proporciona una fundamentación común a estas disciplinas.
Une matemática y meta-matemática.
Todo es más simple. Lo complejo debe edificarse desde lo simple. Es de suponer que con MENTAL se simplifican las demostraciones de las conjeturas y de la matemática en general.
El concepto clave del programa de Langlands es la simetría, un aspecto muy importante de las entidades matemáticas. En MENTAL, el concepto clave es la unión general o universal de opuestos, el mecanismo clave de la conciencia. Este concepto es esencial para establecer un modelo de la realidad interna y externa.
Quizás el intento de relacionar la teoría de números con las funciones automórficas se deba a un deseo más o menos consciente de unir los dos modos de conciencia: el analítico de la teoría de números y el sintético de las funciones automórficas.
El programa de Langlands trata de relacionar lo específico (los números y sus relaciones) con lo genérico (las funciones). Las funciones automórficas permiten hacer referencia a infinitos números con una sola expresión, lo que facilita el descubrimiento de patrones y de leyes en el campo numérico. Pero esto también puede hacerse en MENTAL, de manera más sencilla, mediante expresiones genéricas parametrizadas.
MENTAL, una conjetura universal
MENTAL se puede considerar una conjetura universal:
No se basa en las primitivas como conjeturas individuales porque las primitivas son grados de libertad. Se basa en el conjunto de todas ellas.
A diferencia de las conjeturas particulares, la conjetura universal de MENTAL no se puede demostrar. Más que una conjetura, es una tesis universal referida a la naturaleza profunda de la realidad interna y externa.
Las conjeturas particulares proceden de la intuición. La conjetura universal de MENTAL proviene de intuiciones primarias, que son las dimensiones de la conciencia.
Otra forma de considerar la conjetura universal es que no hay más grados de libertad que las primitivas de MENTAL.
La unificación de la matemática tiene que provenir de los arquetipos de la conciencia. MENTAL es la gran teoría unificada de la matemática.
Con MENTAL se puede lograr el lema inscrito en el anverso de la Medalla Fields: “Transire suum pectus mundoque potiri” (Superar las limitaciones humanas y convertirse en dueños del universo). Ir más allá de uno mismo es conectar con los arquetipos primarios, los arquetipos de la conciencia. Desde ese nivel profundo verdaderamente se pueden dominar todas las cosas, el mundo interior y el mundo exterior, el mundo real y los mundos posibles. MENTAL es la revolución de la simplicidad, una revolución teórico-práctica que puede cambiar para siempre nuestra visión de la matemática.
Adenda
El programa de Langlands en Internet
En 1995 Langlands empezó una colaboracion con Bill Casselman (de la University of British Columbia), con el objetivo de publicar todos sus escritos −incluyendo publicaciones, preimpresos y correspondencia− en Internet. La correspondencia incluye una copia de la famosa carta de Langlands a Weil. Actualmente todas las publicaciones de Langlands están en Internet bajo el título “The Works of Robert Langlands”.
Conjeturas famosas
Las conjeturas han desempeñado un papel fundamental en matemática y han abierto nuevas áreas para intentar resolverlas. Entre las conjeturas famosas están:
El último teorema de Fermat (1637). Fue demostrado por Andrew Wiles en 1995.
La conjetura de Goldbach (1742): todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos (iguales o distintos). Todavía no se ha demostrado.
El teorema de los 4 colores que son suficientes para colorear un mapa. Conjeturado por Francis Guthrie en 1852, fue demostrado con la ayuda de un ordenador por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976.
La hipótesis de Riemann (1859). Es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann que corresponden a los números primos. Todavía no se ha demostrado.
La conjetura de Poincaré (1904): toda variedad cerrada y simplemente conexa es homeomorfa (isomorfa o equivalente a nivel topológico) a la esfera 3D.
Una variedad cerrada es la que es compacta y no tiene bordes (fronteras).
Una variedad compacta es la que todo lazo o círculo cerrado se puede transformar (compactar) en un punto. Esta propiedad permite conocer de manera intrínseca una variedad sin considerar el espacio en el que está inmersa.
Una variedad es simplemente conexa cuando para cada par de puntos todos los caminos que los conectan son homólogos entre sí (hay una sola clase de homotopía).
La conjetura P ≠ NP: los problemas P (los que se resuelven en tiempo polinómico) son diferentes de los problemas tipo NP (los que pueden verificarse su solución en tiempo polinómico). Todavía no se ha demostrado.
El Instituto Clay seleccionó en el año 2000 “8 problemas del milenio”, 100 años después de que Hilbert enumerara 23 problemas matemáticos en el Congreso Internacional de Matemáticos de París de 1900. Entre estos problemas está la hipótesis de Riemann, la conjetura P ≠ NP y la conjetura de Poincaré. Esta última fue demostrada por Grigori Perelman en 2003.
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